Overview

Dieses Buch ist für die Lehrer an höheren Schulen geschrieben, für die, die sich auf diesen Beruf vorbereiten und für alle diejenigen, die die Geometrie lieben. Es wird auch mit Erfolg von 15- bis 18-jährigen Schülern unter Anleitung ihrer Lehrer verwendet werden können. Euklid gründete seine ebene Geometrie auf die Kongruenz von Dreiecken. Drei­ undzwanzig Jahrhunderte später definieren die Mathematiker die Ebene als einen affinen mit einem skalaren Produkt versehenen zweidimensionalen Raum. Ich habe gedacht, daß unsere Schüler eine Darstellung der Geometrie brauchen, die wie bei Euklid von der sinnlich wahrnehmbaren Welt ausgeht, es ihnen aber er­ laubt, recht bald die passenden und fruchtbaren Hilfsmittel der Algebra zu be­ nutzen. Dieses Buch bietet also eine Axiomatik der Geometrie, die sich auf die Begriffe der Parallelen, der Senkrechten und der Entfernung gründet, aber in einer Form, die in natürlicher Weise und schnell zur algebraischen Struktur der Ebene und des Raumes führt. Mehrere Kapitel sind sodann der Klärung von Fragen gewidmet, die oft als dornen­ reich angesehen werden; sie betreffen die Bewegungen, die Winkel und das Win­ kelmaß, die Orientierung. Dieses Buch verdankt viel den Diskussionen mit zahlreichen französischen und ausländischen Mathematikern und Lehrern. Ich danke insbesondere Herrn Andre Revuz, dessen kritische Bemerkungen und dessen Anregungen mir sehr nützlich gewesen sind. Gustave Choquet Vorwort zur deutschen Übersetzung In dem vorliegenden Werk hat der Verfasser, Professor an der Faculte des Sciences in Paris, seine jahrelangen Bemühungen um einen passenden einfachen axiomatischen Aufbau der Schulgeometrie zusammengetragen.

Full Product Details

Author:   Gustave Choquet
Publisher:   Springer Fachmedien Wiesbaden
Imprint:   Vieweg+Teubner Verlag
Edition:   Softcover reprint of the original 2nd ed. 1972
Dimensions:   Width: 15.50cm , Height: 0.90cm , Length: 23.50cm
Weight:   0.260kg
ISBN:  

9783528182601

ISBN 10:   3528182601
Pages:   144
Publication Date:   01 January 1972
Audience:   Professional and scholarly ,  Professional & Vocational
Format:   Paperback
Publisher's Status:   Active
Availability:   In stock  
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Language:   German

Table of Contents

I. Inzidenz- und Ordnungsaxiome.- A. Geraden und Parallelen.- 1. Das Mengenschema.- 2. Inzidenzaxiome.- 3. Parallelprojektion.- 4. Achsensysteme.- B. Ordnungsaxiome.- 5. Ordnungsstruktur jeder Geraden.- 6. UEbertragungsaxiome.- 7. Teilung der Ebene durch eine Gerade.- UEbungen zum Kapitel I.- II. Axiome der affinen Struktur.- A. Affine Struktur der Geraden von ?.- 8. Das erste Axiom der affinen Struktur.- 9. Isomorphismus zwischen R und den zentrierten Geraden von ?.- B. Struktur der additiven Gruppe von (?, 0).- 10. Das UEbertragungsaxiom.- 11. Parallelprojektionen und Parallelogramme.- 12. Die Addition auf der Ebene (?, 0) und ihre Gruppenstruktur.- C. Translationen der Ebene ?.- 13. Kennzeichnung der Translationen.- 14. Isomorphismus der Gruppen (?, 0).- 15. Freie Vektoren und die Chasles-Relation.- 16. Auswirkungen der Translationen auf die orientierten Geraden.- D. Vektorraum-Struktur von (?, 0).- 17. Zusammenfassung und Definition des Vielfachen eines Vektors.- 18. Linearitat der Parallelprojektion.- 19. Satz zur Vektorstruktur.- 20. Basis und Koordinaten. Gleichung einer Geraden.- 21. Die zentrischen Streckungen.- 22. Isomorphie der Vektorraume (?, 0).- 23. Struktur des Vektorraumes auf der Menge der Translationen.- E. Dilatationen der Ebene.- 24. Kennzeichnung der Dilatationen.- 25. Die Gruppe der Dilatationen.- 26. Untergruppen.- 27. Dilatationen von Teilmengen von ?.- F. Erganzungen.- 28. Einige Themen.- 29. Schragspiegelungen.- UEbungen zum Kapitel II.- III. Axiome der metrischen Struktur.- A. Senkrechte.- 30. Axiome des Senkrechtstehens.- 31. Senkrechte Richtungen.- 32. Affine Eigenschaften metrischer Erscheinungen.- 33. Projektion eines von einem Punkt ausgehenden Paares von Halbgeraden.- B. Das Skalarprodukt.- 34. Axiom der Symmetrie.- 35. Norm und Skalarprodukt.- 36. Identitaten und Ungleichungen.- 37. Invarianz von Distanz und Skalarprodukt bei der Translation.- 38. Skalarprodukt auf dem Vektorraum der Translationen.- C. Elementare metrische Eigenschaften.- 39. Metrische Eigenschaften bei Parallelogrammen und Dreiecken.- 40. Orthogonalprojektion.- 41. Mittelsenkrechte.- 42. Tragheitsmomente.- 43. Skalarprodukt und Distanz bei beliebiger Basis.- IV. Isometrien. AEhnlichkeitsbildungen. Spiegelungen einer Menge.- A. Isometrien.- 44. Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen.- 45. Isometrien.- 46. Die Gruppe der Isometrien um einen Punkt.- 47. Paarige und unpaarige Isometrien.- 48. Struktur einer Isometrie.- B. AEhnlichkeitsabbildungen.- 49. Haupteigenschaften.- 50. Paarige und unpaarige AEhnlichkeitsabbildungen.- 51. Die Gruppe der AEhnlichkeitsabbildungen um einen Punkt.- 52. Struktur einer AEhnlichkeitsabbildung.- 53. Klassifikation der abgeschlossenen Gruppen der AEhnlichkeitsabbildungen.- C. Stabile Mengen in bezug auf eine Gruppe von Transformationen.- 54. Regelmassigkeit einer Menge.- 55. Konstruktion regelmassiger Paare (E, E).- 56. Symmetrie-Elemente einer gegebenen Menge.- UEbungen zum Kapitel IV.- V. Die Winkel.- A. Die Gruppe der Winkel.- 57. Die Schwierigkeiten des Winkelbegriffs.- 58. Definition und Bezeichnungen.- 59. Winkelsumme eines ebenen geschlossenen Polygons.- B. Winkel und AEhnlichkeitsabbildungen.- 60. Symmetrie eines Winkels.- 61. Transformation eines Winkels durch eine AEhnlichkeitsabbildung.- 62. Charakterisierung der Drehungen.- 63. Charakterisierung der AEhnlichkeitsabbildungen.- 64. Halbieren eines Winkels.- 65. Winkel zweier Geraden.- VI. Orientierung.- 66. Schwierigkeiten des Begriffs.- 67. Orientierung von Teilmengen von ?.- 68. Andere geometrische Gebilde.- 69. Paare von Halbgeraden.- 70. Orientierung und stetige Deformation.- 71. Die Bewegungen.- UEbungen zum Kapitel VI.- VII. Trigonometrie.- A. Elementare Trigonometrie.- 72. Kosinus und Sinus eines Winkels in bezug auf eine Basis.- 73. Matrix einer Drehung in bezug auf eine positive orthonormale Basis.- 74. Additionstheoreme.- B. Winkelmass.- 75. Auf der Suche nach einer Definition.- 76. Definition und unmittelbare Folgerungen.- 77. Skizze eines Existenzbeweises fur stetige Abbildungen von R auf T.- 78. Zahlenwert eines Winkels.- UEbungen zum Kapitel VII.- VIII. Der Kreis.- 79. Definition und Symmetrien.- 80. AEhnliche Abbildung.- 81. Konvexitat der Kreisscheibe.- 82. Schnitt Kreis-Gerade.- 83. Tangente an einen Kreis.- 84. Schnitt zweier Kreise.- 85. Kreisgleichung.- 86. Einige kennzeichnende Eigenschaften.- 87. Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kreis.- UEbungen zum Kapitel VIII.- IX. Der Raum.- A. Die Axiome.- 88. Wahl einer Methode.- 89. Axiome des dreidimensionalen Raumes.- 90. Erste Folgerungen.- B. Affinstruktur des Raumes.- 91. Der zentrierte Raum (R, 0).- 92. Translationen.- 93. Parallelismus.- 94. Folgerungen aus dem Dimensionsaxiom.- C. Metrische Struktur des Raumes.- 95. Translationen und Senkrechtstehen.- 96. Das skalare Produkt.- 97. Anwendung auf zwei klassische Theoreme.- 98. Einige Themen.- UEbungen zum Kapitel IX.- X. Anhang.- A. Axiomatik auf metrischer Basis.- 99. Erste Axiome.- 100. Spiegelungsaxiom.- 101. Spiegelung an einer Geraden.- 102. Senkrechte und Projektionen.- 103. Punktspiegelung und Produkte von Spiegelungen.- 104. Schema der Weiterentwicklung.- B. Axiomatik der nichteuklidischen Geometrie.- C. Axiomatik der Anfangsgeometrie .- D. Schema einer anderen Winkeldefinition.- E. Literatur.

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