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Dans cette these on etudie la geometrie systolique des varietes de Bieberbach. La systole d'une variete riemannienne compacte et non simplement connexe est l'infimum des longueurs des courbes fermees non contractiles; le rapport systolique est le quotient de la systole a la puissance la dimension par le volume. Un resultat fondamental de Gromov assure que si la variete est essentielle, le quotient systolique reste fini si la metrique varie. Les surfaces compactes autres que la sphere sont essentielles, et le theoreme de Gromov est une generalisation profonde des memes resultats pour le tore de dimension 2 (C. Loewner), pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces varietes la constante systolique est bien connu mais en dimension superieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous interessons aux varietes de Bieberbach de dimension 3, c'est a dire aux varietes compactes de dimension 3 qui portent une metrique riemannienne plate, qui ne sont pas des tores et demontrons que les metriques plates ne sont pas optimales pour le rapport systolique.

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9786131553929

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